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  • Compacité relative

    Formulaire de report


    Ensemble relativement compact \(F\)
    L'adhérence \(\overline F\) de \(F\) est compacte.
    • caractérisation :
      •     
    • \(\forall i\in I\), \(\eta_i(F)\) est relativement compacte dans \(X_i\)

    Produit dénombrable d'espaces métriques, Compacité

    Questions de cours

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Quand a-t-on l'équivalence : $$\text{relativement compact }\iff\text{ précompact}$$
    Verso: \(\implies\) : dans un Espace métrique \(\impliedby\) : dans un espace métrique complet Bonus: Précompacité Carte inversée ?:
    END

    Exercices


    Le sens \(\impliedby\) est immédiat.

    \(\implies\) : Un recouvrement de \(A\) est aussi recouvrement de \(\overline A\), car les points de \(\overline A\) sont arbitrairement proches de \(A\), et on a toujours une boule arbitrairement proche de tout point de \(A\) (go \(\ne\!\!\!\triangle\)).



    Puisque \(\overline A\) est fermé, \(\overline A\) est complet, donc \(\overline A\) compact \(\iff\) \(\overline A\) précompact.

    Et en utilisant la question précédente, on a ainsi \(A\) relativement compact \(\iff\) \(\overline A\) compact \(\iff\) \(\overline A\) précompact \(\iff\) \(A\) précompact.


    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: A quelle condition \(A\subset{\Bbb R}^d\) est-il relativement compact ?
    Verso: On doit avoir \(A\) borné.
    Bonus:

    Carte inversée ?:
    END
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